Математический анализ Примеры

$\int \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Тогда $d u_{2} = - \tan (x) d x$ , следовательно $- d u_{2} = \tan (x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \ln (\cos (x))$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\sec (x) (- \sin (x))$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Изменим порядок множителей в $\sec (x) (- \sin (x))$ .

$- \sec (x) \sin (x)$

Этап 1.1.5.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 1.1.5.3

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.1.5.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 5

Упростим.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (\cos (x))$ .

$- \ln (| \ln (\cos (x)) |) + C$