Математический анализ Примеры

$\int \frac{x + 3}{4 x + 4} d x$

Этап 1

Разделим $x + 3$ на $4 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 x$

$4$

$x$

$3$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			+	$x$	+	$1$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$
					+	$2$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int \frac{1}{4} + \frac{2}{4 x + 4} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2}{4 x + 4} d x$

Этап 3

Сократим общий множитель $2$ и $4 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{4 x + 4} d x$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x) + 4} d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x) + 2 \cdot 2} d x$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (2)$ .

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x + 2)} d x$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x + 2)} d x$

Этап 3.2.5

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Этап 5

Пусть $u = 2 x + 2$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 2 x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 2$ .

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$