Математический анализ Примеры

$4 x^{2} - y^{2} = 7 x - 5$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d x} (7 x - 5)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$8 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 x - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$8 x - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$8 x - (2 y y')$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 x - 2 y y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- 2 y y' + 8 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $7 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.2.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $7$ и $0$ .

$7$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 y y' + 8 x = 7$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y y' = 7 - 8 x$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- 2 y y' = 7 - 8 x$ на $- 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- 2 y y' = 7 - 8 x$ на $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{7}{- 2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 8 x}{- 2 y}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 8 x$ .

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 2 (4 x)}{- 2 y}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 y$ .

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 2 (4 x)}{- 2 (y)}$

Этап 5.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{- 2 (4 x)}{- 2 y}$

Этап 5.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{7}{2 y} + \frac{4 x}{y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7}{2 y} + \frac{4 x}{y}$