Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

Этап 1

Изменим порядок $1$ и $- x$ .

$\int \frac{x^{2}}{- x + 1} d x$

Этап 2

Разделим $x^{2}$ на $- x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $- x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$

Этап 2.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

Этап 2.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $- x$ .

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

Этап 2.8

Умножим новое частное на делитель.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						+	$x$	-	$1$

Этап 2.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$

Этап 2.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$
								+	$1$

Этап 2.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int - x - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 8

Пусть $u = - x + 1$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = - x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 8.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - (\ln (| u |) + C)$

Этап 12

Упростим.

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| u |) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $- x + 1$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$