Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{3} (3 \cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Этап 3.2

Объединим $\cos^{2} (2 x)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 3}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 3.3

Перенесем $3$ влево от $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{3 \cdot \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x)}{3} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 3.4.2

Разделим $\cos^{2} (2 x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\cos^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos^{2} (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

Этап 5.4.2

Изменим порядок множителей в $\cos^{2} (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ .

$- 2 \cos^{2} (2 x) \sin (2 x)$