Математический анализ Примеры

$f (x) = - \sqrt{x - 3} + 2$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- \sqrt{x - 3} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 3}$ в виде ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$- (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.4

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.12

Добавим $1$ и $0$ .

$- (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.14

Умножим $\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$- \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.2.15

Перенесем ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 1.1.3.2

Добавим $- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - 3)}^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{x - 3} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x - 3})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 3}$ в виде ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x - 3)}^{1} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 (x - 3) = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot - 3 = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.6

Умножим $4$ на $- 3$ .

$4 x - 12 = 0^{2}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x - 12 = 0$

Этап 3.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 12$

Этап 3.3.3.2

Разделим каждый член $4 x = 12$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Разделим каждый член $4 x = 12$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{12}{4}$

Этап 3.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{12}{4}$

Этап 3.3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{12}{4}$

Этап 3.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1

Разделим $12$ на $4$ .

$x = 3$

Этап 3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 3}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 3 < 0$

Этап 3.5

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x < 3$

Этап 3.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 3$

$(- \infty, 3]$

$x \leq 3$

$(- \infty, 3]$

Этап 4

Вычислим $- \sqrt{x - 3} + 2$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$- \sqrt{(3) - 3} + 2$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$- \sqrt{0} + 2$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \sqrt{0^{2}} + 2$

Этап 4.1.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- 0 + 2$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 2$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(3, 2)$

Этап 5