Математический анализ Примеры

$\frac{80 \sin (0.6 t)}{t} + 15$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{80 \sin (0.6 t)}{t} + 15$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $80$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{80 \sin (0.6 t)}{t}$ по $t$ равна $80 \frac{d}{d t} [\frac{\sin (0.6 t)}{t}]$ .

$80 \frac{d}{d t} [\frac{\sin (0.6 t)}{t}] + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = \sin (0.6 t)$ и $g (t) = t$ .

$80 \frac{t \frac{d}{d t} [\sin (0.6 t)] - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = 0.6 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $0.6 t$ .

$80 \frac{t (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$80 \frac{t (\cos (u) \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $0.6 t$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) \frac{d}{d t} [0.6 t]) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2.4

Поскольку $0.6$ является константой относительно $t$ , производная $0.6 t$ по $t$ равна $0.6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \frac{d}{d t} [t])) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \cdot 1)) - \sin (0.6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) (0.6 \cdot 1)) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2.7

Умножим $0.6$ на $1$ .

$80 \frac{t (\cos (0.6 t) \cdot 0.6) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2.8

Перенесем $0.6$ влево от $\cos (0.6 t)$ .

$80 \frac{t (0.6 \cdot \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t) \cdot 1}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$80 \frac{t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t)}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 2.10

Объединим $80$ и $\frac{t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t)}{t^{2}}$ .

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t))}{t^{2}} + \frac{d}{d t} [15]$

Этап 3

Поскольку $15$ является константой относительно $t$ , производная $15$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t)) - \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{80 (t (0.6 \cos (0.6 t))) + 80 (- \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $0.6$ на $80$ .

$\frac{48 (t (\cos (0.6 t))) + 80 (- \sin (0.6 t))}{t^{2}} + 0$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $80$ .

$\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}} + 0$

Этап 4.2.3

Добавим $\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$ и $0$ .

$\frac{48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $16$ из $48 t \cos (0.6 t) - 80 \sin (0.6 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $16$ из $48 t \cos (0.6 t)$ .

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t)) - 80 \sin (0.6 t)}{t^{2}}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $16$ из $- 80 \sin (0.6 t)$ .

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t)) + 16 (- 5 \sin (0.6 t))}{t^{2}}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $16$ из $16 (3 t \cos (0.6 t)) + 16 (- 5 \sin (0.6 t))$ .

$\frac{16 (3 t \cos (0.6 t) - 5 \sin (0.6 t))}{t^{2}}$