Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} - x \ln (x)$

Этап 1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Этап 2

Перепишем $x \ln (x)$ в виде $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Этап 3.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (x)$ неограниченно убывает.

$- \frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Этап 3.1.3

Так как числитель — константа, а знаменатель стремится к $0$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к бесконечности.

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Этап 3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$- \frac{- \infty}{\infty}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

Этап 3.3.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}$

Этап 3.5

Объединим $\frac{1}{x}$ и $x^{2}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

Этап 3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Этап 3.6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3

Сократим общий множитель.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Этап 3.6.2.4

Перепишем это выражение.

$- lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

Этап 3.6.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} - x$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$1 lim_{x \to 0^{+}} x$

Этап 4.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- 0$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$