Математический анализ Примеры

$x^{4} + 4 y = 8 x y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 4 y) = \frac{d}{d x} (8 x y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 4 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 x^{3} + 4 y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x y$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$8 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$8 (x y' + y)$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x y' + 8 y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 x^{3} + 4 y' = 8 x y' + 8 y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $8 x y'$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{3} + 4 y' - 8 x y' = 8 y$

Этап 5.2

Вычтем $4 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$4 y' - 8 x y' = 8 y - 4 x^{3}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $4 y'$ из $4 y' - 8 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $4 y'$ из $4 y'$ .

$4 y' \cdot 1 - 8 x y' = 8 y - 4 x^{3}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $4 y'$ из $- 8 x y'$ .

$4 y' \cdot 1 + 4 y' (- 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $4 y'$ из $4 y' \cdot 1 + 4 y' (- 2 x)$ .

$4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$ на $4 (1 - 2 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $4 y' (1 - 2 x) = 8 y - 4 x^{3}$ на $4 (1 - 2 x)$ .

$\frac{4 y' (1 - 2 x)}{4 (1 - 2 x)} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y' (1 - 2 x)}{4 (1 - 2 x)} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{8 y}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 y$ .

$y' = \frac{4 (2 y)}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{4 (2 y)}{4 (1 - 2 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (1 - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (1 - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (1 - 2 x)}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} + \frac{- x^{3}}{1 - 2 x}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y}{1 - 2 x} - \frac{x^{3}}{1 - 2 x}$

Этап 5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y - x^{3}}{1 - 2 x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{3}}{1 - 2 x}$