Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Этап 3

Пусть $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Этап 3.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Этап 3.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Этап 3.3.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Этап 3.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Этап 3.6

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $- \frac{u_{2}}{2}$ в $e^{- t^{2}}$ и в $\frac{1}{e}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ в виде произведения.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 6.2.2.2

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Этап 6.2.2.3

Перенесем $2$ влево от $e$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

Этап 7.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Этап 7.1.3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Этап 7.2

Поскольку показатель степени $- t^{2}$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- t^{2}}$ стремится к $0$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Этап 7.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Найдем предел $\frac{1}{2 e}$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

Этап 7.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

Этап 7.3.2.1.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

Этап 7.3.2.2

Добавим $0$ и $\frac{1}{2 e}$ .

$4 \frac{1}{2 e}$

Этап 7.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

Этап 7.3.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 e$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

Этап 7.3.2.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

Этап 7.3.2.3.4

Перепишем это выражение.

$2 \frac{1}{e}$

Этап 7.3.2.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{e}$

Десятичная форма:

$0.73575888 \dots$