Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} + x - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{3} - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1^{2} + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.6.3

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.2.6.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} + x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{3} - x^{2} + x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3.7

Добавим $3 x^{2} - 2 x + 1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 1.3.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 0}$

Этап 1.3.11

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{2 x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 2.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 2.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 2.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

Этап 4.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (3 - 2 + 1)$

Этап 4.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{2} (1 + 1)$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 4.5.2

Перепишем это выражение.

$1$