Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{6} + 3 x^{2}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{6} + 3 x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{6} d x + \int 3 x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 3 x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 \int x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$\frac{1}{7} x^{7} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} x^{7} + 1 x^{3} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + x^{3} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{6} + 3 x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + x^{3} + C$