Математический анализ Примеры

$- 2 x^{2} + 1 + x y^{2} = - 2 y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1 + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{2} + 1 + x y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$- 4 x + 0 + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- 4 x + 0 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 x + 0 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- 4 x + 0 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 4 x + 0 + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

Этап 2.4.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

Этап 2.4.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 x y y' + y^{2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $- 4 x$ и $0$ .

$- 4 x + 2 x y y' + y^{2}$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 6 y^{2} y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x = - 6 y^{2} y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $6 y^{2} y'$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} + 2 x y y' - 4 x + 6 y^{2} y' = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x y y' - 4 x + 6 y^{2} y' = - y^{2}$

Этап 5.2.2

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$2 x y y' + 6 y^{2} y' = - y^{2} + 4 x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 x y y' + 6 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 x y y'$ .

$2 y y' x + 6 y^{2} y' = - y^{2} + 4 x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $6 y^{2} y'$ .

$2 y y' x + 2 y y' (3 y) = - y^{2} + 4 x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' x + 2 y y' (3 y)$ .

$2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$ на $2 y (x + 3 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 y y' (x + 3 y) = - y^{2} + 4 x$ на $2 y (x + 3 y)$ .

$\frac{2 y y' (x + 3 y)}{2 y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y' (x + 3 y)}{2 y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (x + 3 y)}{y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (x + 3 y)}{y (x + 3 y)} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель $x + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y)}{2 y (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 (x + 3 y))} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 (x + 3 y))} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y}{2 (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{4 x}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.1.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 y (x + 3 y)}$

Этап 5.4.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (x + 3 y)$ .

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 (y (x + 3 y))}$

Этап 5.4.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 (2 x)}{2 (y (x + 3 y))}$

Этап 5.4.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 x}{y (x + 3 y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 3 y)} + \frac{2 x}{y (x + 3 y)}$