Математический анализ Примеры

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(e^{x} + e^{- x})}^{2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ в виде $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ .

$\int (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) d x$

Этап 4.2

Развернем $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Этап 4.3.1.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Этап 4.3.1.2

Умножим $e^{x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Этап 4.3.1.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Этап 4.3.1.3

Упростим $e^{0}$ .

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Этап 4.3.1.4

Умножим $e^{- x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Этап 4.3.1.4.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\int e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} d x$

Этап 4.3.1.5

Упростим $e^{0}$ .

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} d x$

Этап 4.3.1.6

Умножим $e^{- x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} d x$

Этап 4.3.1.6.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} d x$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\int e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 6

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 7

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 9

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{- 2 x} d x$

Этап 11

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Тогда $d u_{2} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 11.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 11.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 12.2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 13

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 14

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 15

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 16

Упростим.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$