Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x} - 2 e^{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x} - 2 e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x} - 2 e^{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x} - 2 e^{x} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C - 2 \int e^{x} d x$

Этап 7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\ln (| x |) + C - 2 (e^{x} + C)$

Этап 8

Упростим.

$\ln (| x |) - 2 e^{x} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x} - 2 e^{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) - 2 e^{x} + C$