Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{12}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $4 x^{2}$ на $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{2} + 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $7$ .

$4 x^{2} + 14 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 42$ является константой относительно $x$ , производная $- 42$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $4 x^{2} + 14 x - 8$ и $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 14 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (14 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3.3

Умножим $14$ на $1$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 8 x + 14 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $8 x + 14$ и $0$ .

$f'' (x) = 8 x + 14$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.2.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{12}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.2.6.2.4

Разделим $4 x^{2}$ на $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{2} + 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $7$ .

$4 x^{2} + 14 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 42]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 42$ является константой относительно $x$ , производная $- 42$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $4 x^{2} + 14 x - 8$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{2} + 14 x - 8$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{2} + 14 x - 8$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{2} + 14 x - 8 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2} + 14 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) + 14 x - 8 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $14 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (7 x) - 8 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (- 4) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{2}) + 2 (7 x)$ .

$2 (2 x^{2} + 7 x) + 2 (- 4) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{2} + 7 x) + 2 (- 4)$ .

$2 (2 x^{2} + 7 x - 4) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$2 (2 x^{2} + 7 (x) - 4) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.2

Запишем $7$ как $- 1$ плюс $8$

$2 (2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4) = 0$

Этап 5.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4) = 0$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)) = 0$

Этап 5.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$2 ((2 x - 1) (x + 4)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (2 x - 1) (x + 4) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (2 x - 1) (x + 4) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2}, - 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$8 (\frac{1}{2}) + 14$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{1}{2} + 14$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{1}{2} + 14$

Этап 9.1.3

Перепишем это выражение.

$4 + 14$

Этап 9.2

Добавим $4$ и $14$ .

$18$

Этап 10

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.2

Объединим.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 2^{3}} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 8} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.5

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3 \cdot 8} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.6

Умножим $3$ на $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{24} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.7

Сократим общий множитель $4$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 (1)}{24} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 {(\frac{1}{2})}^{2} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.8

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.9

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1}{2^{2}}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + 7 (\frac{1}{4}) - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.11

Объединим $7$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} - 8 (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.12.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} + 2 (- 4) (\frac{1}{2}) - 42$

Этап 11.2.1.12.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2})) - 42$

Этап 11.2.1.12.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7}{4} - 4 - 42$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{7}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{3} - 4 - 42$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{7}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} - 4 - 42$

Этап 11.2.2.5

Запишем $- 4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4}{1} - 42$

Этап 11.2.2.6

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{12}{12} - 42$

Этап 11.2.2.7

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} - 42$

Этап 11.2.2.8

Запишем $- 42$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42}{1}$

Этап 11.2.2.9

Умножим $\frac{- 42}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Этап 11.2.2.10

Умножим $\frac{- 42}{1}$ на $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{6 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Этап 11.2.2.11

Изменим порядок множителей в $6 \cdot 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 6} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Этап 11.2.2.12

Умножим $2$ на $6$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Этап 11.2.2.13

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Этап 11.2.2.14

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{12} + \frac{7 \cdot 3}{12} + \frac{- 4 \cdot 12}{12} + \frac{- 42 \cdot 12}{12}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 7 \cdot 3 - 4 \cdot 12 - 42 \cdot 12}{12}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $7$ на $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 4 \cdot 12 - 42 \cdot 12}{12}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 4$ на $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 48 - 42 \cdot 12}{12}$

Этап 11.2.4.3

Умножим $- 42$ на $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 21 - 48 - 504}{12}$

Этап 11.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Добавим $2$ и $21$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{23 - 48 - 504}{12}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $48$ из $23$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 25 - 504}{12}$

Этап 11.2.5.3

Вычтем $504$ из $- 25$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 529}{12}$

Этап 11.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{529}{12}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{529}{12}$ .

$y = - \frac{529}{12}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$8 (- 4) + 14$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $8$ на $- 4$ .

$- 32 + 14$

Этап 13.2

Добавим $- 32$ и $14$ .

$- 18$

Этап 14

$x = - 4$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 4$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{4}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f (- 4) = \frac{4}{3} \cdot - 64 + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Этап 15.2.1.2

Умножим $\frac{4}{3} \cdot - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $- 64$ .

$f (- 4) = \frac{4 \cdot - 64}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Этап 15.2.1.2.2

Умножим $4$ на $- 64$ .

$f (- 4) = \frac{- 256}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Этап 15.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 7 {(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 - 42$

Этап 15.2.1.4

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 7 \cdot 16 - 8 \cdot - 4 - 42$

Этап 15.2.1.5

Умножим $7$ на $16$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 112 - 8 \cdot - 4 - 42$

Этап 15.2.1.6

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + 112 + 32 - 42$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Запишем $112$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112}{1} + 32 - 42$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{112}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112}{1} \cdot \frac{3}{3} + 32 - 42$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{112}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + 32 - 42$

Этап 15.2.2.4

Запишем $32$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32}{1} - 42$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 42$

Этап 15.2.2.6

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 42$

Этап 15.2.2.7

Запишем $- 42$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42}{1}$

Этап 15.2.2.8

Умножим $\frac{- 42}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 15.2.2.9

Умножим $\frac{- 42}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{256}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 42 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 4) = \frac{- 256 + 112 \cdot 3 + 32 \cdot 3 - 42 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $112$ на $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 32 \cdot 3 - 42 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $32$ на $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 96 - 42 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.3

Умножим $- 42$ на $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 256 + 336 + 96 - 126}{3}$

Этап 15.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Добавим $- 256$ и $336$ .

$f (- 4) = \frac{80 + 96 - 126}{3}$

Этап 15.2.5.2

Добавим $80$ и $96$ .

$f (- 4) = \frac{176 - 126}{3}$

Этап 15.2.5.3

Вычтем $126$ из $176$ .

$f (- 4) = \frac{50}{3}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{50}{3}$ .

$y = \frac{50}{3}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{4}{3} x^{3} + 7 x^{2} - 8 x - 42$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{529}{12})$ — локальный минимум

$(- 4, \frac{50}{3})$ — локальный максимум

Этап 17