Математический анализ Примеры

$\frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$

Этап 1

Запишем $\frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разложим $x^{2} + 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $5$ .

$2, 3$

Этап 4.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{4 x + 11}{(x + 2) (x + 3)}$

Этап 4.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Этап 4.1.3

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$

Этап 4.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 2) (x + 3)$ .

$\frac{(4 x + 11) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x + 11) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 x + 11) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x + 11) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 4.1.6.2

Разделим $4 x + 11$ на $1$ .

$4 x + 11 = \frac{(A) (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 4.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$4 x + 11 = \frac{A (x + 2) (x + 3)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 4.1.7.1.2

Разделим $(A) (x + 3)$ на $1$ .

$4 x + 11 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 4.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 11 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 4.1.7.3

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$4 x + 11 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 4.1.7.4

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$4 x + 11 = A x + 3 A + \frac{(B) (x + 2) (x + 3)}{x + 3}$

Этап 4.1.7.4.2

Разделим $(B) (x + 2)$ на $1$ .

$4 x + 11 = A x + 3 A + (B) (x + 2)$

Этап 4.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 11 = A x + 3 A + B x + B \cdot 2$

Этап 4.1.7.6

Перенесем $2$ влево от $B$ .

$4 x + 11 = A x + 3 A + B x + 2 B$

Этап 4.1.8

Перенесем $3 A$ .

$4 x + 11 = A x + B x + 3 A + 2 B$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = A + B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$11 = 3 A + 2 B$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$4 = A + B$

$11 = 3 A + 2 B$

$4 = A + B$

$11 = 3 A + 2 B$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $A$ в $4 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 4$ .

$A + B = 4$

$11 = 3 A + 2 B$

Этап 4.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 4 - B$

$11 = 3 A + 2 B$

$A = 4 - B$

$11 = 3 A + 2 B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $4 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $11 = 3 A + 2 B$ на $4 - B$ .

$11 = 3 (4 - B) + 2 B$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим $3 (4 - B) + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$11 = 3 \cdot 4 + 3 (- B) + 2 B$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.2.2.1.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$11 = 12 + 3 (- B) + 2 B$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$11 = 12 - 3 B + 2 B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - 3 B + 2 B$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.2.2.1.2

Добавим $- 3 B$ и $2 B$ .

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

$11 = 12 - B$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.3

Решим относительно $B$ в $11 = 12 - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $12 - B = 11$ .

$12 - B = 11$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- B = 11 - 12$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.3.2.2

Вычтем $12$ из $11$ .

$- B = - 1$

$A = 4 - B$

$- B = - 1$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.3.3

Разделим каждый член $- B = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Разделим каждый член $- B = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.3.3.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$B = 1$

$A = 4 - B$

$B = 1$

$A = 4 - B$

$B = 1$

$A = 4 - B$

$B = 1$

$A = 4 - B$

Этап 4.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 4 - B$ на $1$ .

$A = 4 - (1)$

$B = 1$

Этап 4.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Упростим $4 - (1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A = 4 - 1$

$B = 1$

Этап 4.3.4.2.1.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$A = 3, B = 1$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}$

Этап 4.5

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{3}{x + 2} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 7

Пусть $u_{1} = x + 2$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{1} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 7.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 9

Пусть $u_{2} = x + 3$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = x + 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 9.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (\ln (| u_{1} |) + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 11

Упростим.

$3 \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 2$ .

$3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 3$ .

$3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x + 3 |) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{4 x + 11}{x^{2} + 5 x + 6}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x + 3 |) + C$