Математический анализ Примеры

$y = \frac{{(w^{3} + 4)}^{5}}{8}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{8}$ является константой относительно $w$ , производная $\frac{{(w^{3} + 4)}^{5}}{8}$ по $w$ равна $\frac{1}{8} \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 4)}^{5}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ имеет вид $f' (g (w)) g' (w)$ , где $f (w) = w^{5}$ и $g (w) = w^{3} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $w^{3} + 4$ .

$\frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{8} (5 u^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $w^{3} + 4$ .

$\frac{1}{8} (5 {(w^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{5}{8} ({(w^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4])$

Этап 3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим ${(w^{3} + 4)}^{4}$ и $\frac{5}{8}$ .

$\frac{{(w^{3} + 4)}^{4} \cdot 5}{8} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4]$

Этап 3.2.2

Перенесем $5$ влево от ${(w^{3} + 4)}^{4}$ .

$\frac{5 \cdot {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} \frac{d}{d w} [w^{3} + 4]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $w^{3} + 4$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4]$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [4])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [4])$

Этап 3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $w$ , производная $4$ относительно $w$ равна $0$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2} + 0)$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $3 w^{2}$ и $0$ .

$\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} (3 w^{2})$

Этап 3.6.2

Объединим $3$ и $\frac{5 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8}$ .

$\frac{3 (5 {(w^{3} + 4)}^{4})}{8} w^{2}$

Этап 3.6.3

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8} w^{2}$

Этап 3.6.4

Объединим $\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4}}{8}$ и $w^{2}$ .

$\frac{15 {(w^{3} + 4)}^{4} w^{2}}{8}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{15 ({(w^{3})}^{4} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(w^{3})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 (w^{3 \cdot 4} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 4 {(w^{3})}^{3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(w^{3})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 (w^{12} + 4 w^{3 \cdot 3} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{15 (w^{12} + 4 w^{9} \cdot 4 + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 {(w^{3})}^{2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.4

Перемножим экспоненты в ${(w^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{3 \cdot 2} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{6} \cdot 4^{2} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 6 w^{6} \cdot 16 + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.6

Умножим $16$ на $6$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4 w^{3} \cdot 4^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.7

Умножим $4$ на $4^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Перенесем $4^{3}$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3} \cdot 4 w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.7.2

Умножим $4^{3}$ на $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3} \cdot 4^{1} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{3 + 1} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.7.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 4^{4} w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.8

Возведем $4$ в степень $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 256 w^{3} + 4^{4}) w^{2}}{8}$

Этап 4.2.9

Возведем $4$ в степень $4$ .

$\frac{15 (w^{12} + 16 w^{9} + 96 w^{6} + 256 w^{3} + 256) w^{2}}{8}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(15 w^{12} + 15 (16 w^{9}) + 15 (96 w^{6}) + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $16$ на $15$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 15 (96 w^{6}) + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Этап 4.4.2

Умножим $96$ на $15$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 15 (256 w^{3}) + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Этап 4.4.3

Умножим $256$ на $15$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 3840 w^{3} + 15 \cdot 256) w^{2}}{8}$

Этап 4.4.4

Умножим $15$ на $256$ .

$\frac{(15 w^{12} + 240 w^{9} + 1440 w^{6} + 3840 w^{3} + 3840) w^{2}}{8}$

Этап 4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 w^{12} w^{2} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $w^{12}$ на $w^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Перенесем $w^{2}$ .

$\frac{15 (w^{2} w^{12}) + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 w^{2 + 12} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6.1.3

Добавим $2$ и $12$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{9} w^{2} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6.2

Умножим $w^{9}$ на $w^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Перенесем $w^{2}$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 (w^{2} w^{9}) + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{2 + 9} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6.2.3

Добавим $2$ и $9$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{6} w^{2} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6.3

Умножим $w^{6}$ на $w^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Перенесем $w^{2}$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 (w^{2} w^{6}) + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{2 + 6} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6.3.3

Добавим $2$ и $6$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{3} w^{2} + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6.4

Умножим $w^{3}$ на $w^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Перенесем $w^{2}$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 (w^{2} w^{3}) + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{2 + 3} + 3840 w^{2}}{8}$

Этап 4.6.4.3

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{15 w^{14} + 240 w^{11} + 1440 w^{8} + 3840 w^{5} + 3840 w^{2}}{8}$