Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt[3]{64 x^{6}}}{x^{5}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{64 x^{6}}}{x^{5}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $64 x^{6}$ в виде ${(4 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{2})}^{3}}}{x^{5}}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{x^{5}}]$

Этап 2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{5}}]$

Этап 2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}]$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{3}}]$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}]$

Этап 3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x^{3}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$4 (- 3 x^{- 4})$

Этап 6

Умножим $- 3$ на $4$ .

$- 12 x^{- 4}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $- 12$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 12}{x^{4}}$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12}{x^{4}}$