Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (1 + 2 x + 3 x^{2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} 1 + 2 x + 3 x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $x$ в $1$ и в $0$ .

$(1) + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$1 + 0 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 9.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$1 + 0 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$1 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$1 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} - 0) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2} + 0) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.6

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$1 + 2 (\frac{1}{2}) + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{2}{2} + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.8.1

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{2}{2} + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.8.2

Перепишем это выражение.

$1 + 1 + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$2 + 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.10

Единица в любой степени равна единице.

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 9.2.4.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 9.2.4.12

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.12.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 9.2.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 9.2.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 9.2.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$2 + 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 9.2.4.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} - 0)$

Этап 9.2.4.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3} + 0)$

Этап 9.2.4.14

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$2 + 3 (\frac{1}{3})$

Этап 9.2.4.15

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$2 + \frac{3}{3}$

Этап 9.2.4.16

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.16.1

Сократим общий множитель.

$2 + \frac{3}{3}$

Этап 9.2.4.16.2

Перепишем это выражение.

$2 + 1$

Этап 9.2.4.17

Добавим $2$ и $1$ .

$3$

Этап 10