Математический анализ Примеры

$g (x) = - x^{4} + 3 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{4} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$- 4 x^{3} + 3$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{3} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$g'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$g'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$g'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = - 12 x^{2} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $- 12 x^{2}$ и $0$ .

$g'' (x) = - 12 x^{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- x^{4} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 3 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 3$

Этап 4.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{3} + 3$ .

$- 4 x^{3} + 3$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x^{3} + 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{3} = - 3$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 4 x^{3} = - 3$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 4 x^{3} = - 3$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x^{3}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{- 3}{- 4}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{3} = \frac{3}{4}$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Этап 5.5

Упростим $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 5.5.2

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 5.5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 5.5.3.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 5.5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 5.5.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 5.5.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.5.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.5.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 5.5.3.5.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 5.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Этап 5.5.4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Этап 5.5.4.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Этап 5.5.4.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Этап 5.5.4.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 5.5.4.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

Этап 5.5.4.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

Этап 5.5.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

Этап 5.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$- 12 \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{2^{2}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$- 12 \frac{\sqrt[3]{6^{2}}}{2^{2}}$

Этап 9.2.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{2^{2}}$

Этап 9.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 12 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 3 \frac{\sqrt[3]{36}}{4}$

Этап 9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 \sqrt[3]{36}$

Этап 10

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ в виде $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2.1.2.2

Возведем $6$ в степень $4$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2.1.2.3

Перепишем $1296$ в виде $6^{3} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $216$ из $1296$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2.1.2.3.2

Перепишем $216$ в виде $6^{3}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sqrt[3]{6}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + 3 (\frac{\sqrt[3]{6}}{2})$

Этап 11.2.1.5

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ на $\frac{4}{4}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{6} + 12 \sqrt[3]{6}}{8}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $- 3 \sqrt[3]{6}$ и $12 \sqrt[3]{6}$ .

$g (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$ .

$y = \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $g (x) = - x^{4} + 3 x$ .

$(\frac{\sqrt[3]{6}}{2}, \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8})$ — локальный максимум

Этап 13