Математический анализ Примеры

$2 + 2 x^{2} + y^{2} = - 5 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 + 2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 + 2 x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$0 + 4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$0 + 4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$0 + 4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$0 + 4 x + 2 y y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $0$ и $4 x$ .

$4 x + 2 y y'$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 4 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' + 4 x = - 5$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' = - 5 - 4 x$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 y y' = - 5 - 4 x$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 y y' = - 5 - 4 x$ на $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 5}{2 y} + \frac{- 4 x}{2 y}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 5}{2 y} + \frac{- 4 x}{2 y}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 5}{2 y} + \frac{- 4 x}{2 y}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 5}{2 y} + \frac{- 4 x}{2 y}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 5}{2 y} + \frac{- 4 x}{2 y}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5}{2 y} + \frac{- 4 x}{2 y}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$y' = - \frac{5}{2 y} + \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$y' = - \frac{5}{2 y} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

Этап 5.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{5}{2 y} + \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Этап 5.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{5}{2 y} + \frac{- 2 x}{y}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{5}{2 y} - \frac{2 x}{y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{2 y} - \frac{2 x}{y}$