Математический анализ Примеры

$- 4 y - 1 - y^{3} = - 3 x^{2} - y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- 4 y - 1 - y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 4 y - 1 - y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 4 y' + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 4 y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- 4 y' + 0 - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 4 y' + 0 - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- 4 y' + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 4 y' + 0 - (3 y^{2} y')$

Этап 2.4.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 4 y' + 0 - 3 y^{2} y'$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $- 4 y'$ и $0$ .

$- 4 y' - 3 y^{2} y'$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$- 3 y^{2} y' - 4 y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 6 x - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- 6 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 6 x - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- 6 x - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 6 x - (2 y y')$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 6 x - 2 y y'$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$- 2 y y' - 6 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 3 y^{2} y' - 4 y' = - 2 y y' - 6 x$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $2 y y'$ к обеим частям уравнения.

$- 3 y^{2} y' - 4 y' + 2 y y' = - 6 x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} y' - 4 y' + 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) - 4 y' + 2 y y' = - 6 x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 4 y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 4 + 2 y y' = - 6 x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 4 + y' (2 y) = - 6 x$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (- 3 y^{2} - 4) + y' (2 y) = - 6 x$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 3 y^{2} - 4) + y' (2 y)$ .

$y' (- 3 y^{2} - 4 + 2 y) = - 6 x$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$y' (- 3 y^{2} + 2 y - 4) = - 6 x$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (- 3 y^{2} + 2 y - 4) = - 6 x$ на $- 3 y^{2} + 2 y - 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (- 3 y^{2} + 2 y - 4) = - 6 x$ на $- 3 y^{2} + 2 y - 4$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 2 y - 4)}{- 3 y^{2} + 2 y - 4} = \frac{- 6 x}{- 3 y^{2} + 2 y - 4}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 3 y^{2} + 2 y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 2 y - 4)}{- 3 y^{2} + 2 y - 4} = \frac{- 6 x}{- 3 y^{2} + 2 y - 4}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 6 x}{- 3 y^{2} + 2 y - 4}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{6 x}{- 3 y^{2} + 2 y - 4}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{6 x}{- (3 y^{2}) + 2 y - 4}$

Этап 5.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y$ .

$y' = - \frac{6 x}{- (3 y^{2}) - (- 2 y) - 4}$

Этап 5.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2}) - (- 2 y)$ .

$y' = - \frac{6 x}{- (3 y^{2} - 2 y) - 4}$

Этап 5.4.3.5

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$y' = - \frac{6 x}{- (3 y^{2} - 2 y) - 1 (4)}$

Этап 5.4.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2} - 2 y) - 1 (4)$ .

$y' = - \frac{6 x}{- (3 y^{2} - 2 y + 4)}$

Этап 5.4.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.7.1

Перепишем $- (3 y^{2} - 2 y + 4)$ в виде $- 1 (3 y^{2} - 2 y + 4)$ .

$y' = - \frac{6 x}{- 1 (3 y^{2} - 2 y + 4)}$

Этап 5.4.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - - \frac{6 x}{3 y^{2} - 2 y + 4}$

Этап 5.4.3.7.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = 1 \frac{6 x}{3 y^{2} - 2 y + 4}$

Этап 5.4.3.7.4

Умножим $\frac{6 x}{3 y^{2} - 2 y + 4}$ на $1$ .

$y' = \frac{6 x}{3 y^{2} - 2 y + 4}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{3 y^{2} - 2 y + 4}$