Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{x} (3 t^{2} - 1) d t$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{2}^{x} 3 t^{2} - 1 d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{2}^{x} - 1 d t$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{2}^{x} t^{2} d t + \int_{2}^{x} - 1 d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{x}) + \int_{2}^{x} - 1 d t$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{x}) + \int_{2}^{x} - 1 d t$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{x}) + - t]_{2}^{x}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Найдем значение $\frac{t^{3}}{3}$ в $x$ и в $2$ .

$3 ((\frac{x^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + - t]_{2}^{x}$

Этап 7.1.2

Найдем значение $- t$ в $x$ и в $2$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - x + 1 \cdot 2$

Этап 7.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{8}{3}) - x + 1 \cdot 2$

Этап 7.1.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{8}{3}) - x + 2$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{8}{3}) - x + 2$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{8}{3}) - x + 2$

Этап 8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- \frac{8}{3}) - x + 2$

Этап 8.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- \frac{8}{3}) - x + 2$

Этап 8.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} + 3 (- \frac{8}{3}) - x + 2$

Этап 8.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{3}$ в числитель.

$x^{3} + 3 (\frac{- 8}{3}) - x + 2$

Этап 8.1.4.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} + 3 (\frac{- 8}{3}) - x + 2$

Этап 8.1.4.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} - 8 - x + 2$

Этап 8.2

Добавим $- 8$ и $2$ .

$x^{3} - x - 6$