Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{x - 2}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{x - 2}} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{x - 2}} d x$

Этап 4

Пусть $u = x - 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 5.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x - 2}}$ .

$F (x) =$ $4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + C$