Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Этап 5

Пусть $u = 4 x - 6$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 4 x - 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $4 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $4 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int e^{u} \frac{1}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{e^{u}}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - 2 x^{3} d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$\frac{2}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

Этап 10

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 \int x^{3} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$\frac{1}{2} e^{u} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

Этап 12.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Этап 12.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Этап 12.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

Этап 12.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} e^{u} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 6$ .

$\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$