Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 5 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\int 5 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int 5 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\int \frac{5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{5 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{5 \cdot 1 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.4.2

Умножим $5$ на $1$ .

$\int \frac{5 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.4.3

Вычтем $3$ из $5$ .

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Изменим порядок $1$ и $x^{2}$ .

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Разделим $5 x^{2} + 2$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$5$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{2} + 0 + 5$ .

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$3$

Этап 5.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 5 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 9

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$5 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 10.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 10.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$5 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

Этап 12

Упростим.

$5 x - 3 \arctan (x) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$F (x) =$ $5 x - 3 \arctan (x) + C$