Математический анализ Примеры

$\sec^{2} (\sqrt{x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sec (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4

Возведем $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}})) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 5

Возведем $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec^{1} (x^{\frac{1}{2}})) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sec (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 1} (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 14

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 15

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $2$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 16

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$ и $\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \tan (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 17

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ и $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 18

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Перенесем $2$ влево от $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 18.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Перепишем это выражение.

$\frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \tan (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$