Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{a} 8 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = a^{2} - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = a^{2} - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $a^{2} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $a^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $a^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 2.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $a^{2}$ и $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Этап 2.5

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$8 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 3.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 (- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 8 (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 8$ .

$\frac{- 8}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Этап 7.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Этап 7.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Этап 7.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Этап 7.1.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$- 4 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Этап 7.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0})$

Этап 9

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 4 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{a^{2}}^{0})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $0$ и в $a^{2}$ .

$- 4 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2.5

Умножим $2$ на $0$ .

$- 4 (\frac{0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2.6

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- 4 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- 4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- 4 (\frac{0}{1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 4 (0 - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 10.2.7

Перемножим экспоненты в ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 10.2.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.7.2.1

Сократим общий множитель.

$- 4 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 10.2.7.2.2

Перепишем это выражение.

$- 4 (0 - \frac{2 a^{3}}{3})$

Этап 10.2.8

Вычтем $\frac{2 a^{3}}{3}$ из $0$ .

$- 4 (- \frac{2 a^{3}}{3})$

Этап 10.2.9

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$4 \frac{2 a^{3}}{3}$

Этап 10.2.10

Объединим $4$ и $\frac{2 a^{3}}{3}$ .

$\frac{4 (2 a^{3})}{3}$

Этап 10.2.11

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 a^{3}}{3}$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{8}{3} a^{3}$

Этап 12

Объединим $\frac{8}{3}$ и $a^{3}$ .

$\frac{8 a^{3}}{3}$