Математический анализ Примеры

$\int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{3 x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{e^{\frac{2}{x}}}{x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = \frac{2}{x}$ . Тогда $d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ , следовательно $1 d u = - \frac{2}{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \frac{2}{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.1.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Этап 2.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Этап 2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 2.1.6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{2} e^{u} d u$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- \frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

Этап 6

Упростим.

$- \frac{1}{6} e^{u} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2}{x}$ .

$- \frac{1}{6} e^{\frac{2}{x}} + C$