Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Этап 1.2.1.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}$

Этап 1.3.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $\sqrt{x} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 3.8

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Этап 3.9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Этап 3.9.2.2

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 4} 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 4} 1 (2 \sqrt{x})$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} 2 \sqrt{x}$

Этап 6.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Этап 6.3

Внесем предел под знак радикала.

$2 \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Этап 7

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$2 \sqrt{4}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2^{2}}$

Этап 8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 \cdot 2$

Этап 8.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4$