Математический анализ Примеры

$π \int_{0}^{1} (9 - 6 x + x^{2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$π \int_{0}^{1} 9 - 6 x + x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$π (\int_{0}^{1} 9 d x + \int_{0}^{1} - 6 x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$π (9 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 6 x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 4

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (9 x]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $9 x]_{0}^{1}$ и $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ .

$π (9 x + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Этап 8.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$π (9 x + \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $9 x + \frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$π ((9 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$π ((9 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}) - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $9$ на $1$ .

$π (9 + \frac{1^{3}}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$π (9 + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.3

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.4

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$π (\frac{9 \cdot 3 + 1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.6.1

Умножим $9$ на $3$ .

$π (\frac{27 + 1}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.6.2

Добавим $27$ и $1$ .

$π (\frac{28}{3} - (9 \cdot 0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.7

Умножим $9$ на $0$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0^{3}}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{28}{3} - (0 + \frac{0}{1}) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (\frac{28}{3} - (0 + 0) - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 0 - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (\frac{28}{3} + 0 - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.12

Добавим $\frac{28}{3}$ и $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.13

Единица в любой степени равна единице.

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 8.2.3.14

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}))$

Этап 8.2.3.15

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

Этап 8.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 8.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}))$

Этап 8.2.3.15.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 0))$

Этап 8.2.3.16

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2} + 0))$

Этап 8.2.3.17

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$π (\frac{28}{3} - 6 (\frac{1}{2}))$

Этап 8.2.3.18

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{2}$ .

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 6}{2})$

Этап 8.2.3.19

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.19.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2})$

Этап 8.2.3.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)})$

Этап 8.2.3.19.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{28}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.19.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 3}{1})$

Этап 8.2.3.19.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$π (\frac{28}{3} - 3)$

Этап 8.2.3.20

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{28}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.3.21

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{28}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

Этап 8.2.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$π \frac{28 - 3 \cdot 3}{3}$

Этап 8.2.3.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.23.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$π \frac{28 - 9}{3}$

Этап 8.2.3.23.2

Вычтем $9$ из $28$ .

$π \frac{19}{3}$

Этап 8.2.3.24

Объединим $π$ и $\frac{19}{3}$ .

$\frac{π \cdot 19}{3}$

Этап 8.2.3.25

Перенесем $19$ влево от $π$ .

$\frac{19 π}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{19 π}{3}$

Десятичная форма:

$19.89675347 \dots$

Этап 10