Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{2} - x^{4} + x - \frac{1}{4} x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x^{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Этап 1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- \frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{4} x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{1}{4} (5 x^{4})$

Этап 1.5.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$x - 4 x^{3} + 1 - 5 (\frac{1}{4}) x^{4}$

Этап 1.5.4

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{4}$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5}{4} x^{4}$

Этап 1.5.5

Объединим $\frac{- 5}{4}$ и $x^{4}$ .

$x - 4 x^{3} + 1 + \frac{- 5 x^{4}}{4}$

Этап 1.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x - 4 x^{3} + 1 - \frac{5 x^{4}}{4}$

Этап 1.6

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- \frac{5}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5 x^{4}}{4}$ по $x$ равна $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{5}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.5

Умножим $- 4$ на $5$ .

$\frac{- 20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.6

Объединим $\frac{- 20}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.7

Сократим общий множитель $- 20$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $- 20 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- 5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.7.2.4

Разделим $- 5 x^{3}$ на $1$ .

$- 5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 5 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1 + 0$

Этап 2.4.3

Добавим $- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 5 x^{3} - 12 x^{2} + 1$