Математический анализ Примеры

$\int_{- \frac{1}{2}}^{0} \frac{14}{\sqrt{25 - 25 x^{2}}} d x$

Этап 1

Поскольку $14$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $14$ из-под знака интеграла.

$14 \int_{- \frac{1}{2}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 - 25 x^{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $25$ из $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $25$ из $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.4

Применим формулу Пифагора.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.5

Перепишем $25 \cos^{2} (t)$ в виде ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Этап 3.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{5 \cos (t)} \cos (t) d t$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $5 \cos (t)$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\cos (t) \cdot 5} \cos (t) d t$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\cos (t) \cdot 5} \cos (t) d t$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{5} d t$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$14 (\frac{1}{5} t]_{- \frac{π}{6}}^{0})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $t$ .

$14 (\frac{t}{5}]_{- \frac{π}{6}}^{0})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{t}{5}$ в $0$ и в $- \frac{π}{6}$ .

$14 ((\frac{0}{5}) - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$14 (\frac{5 (0)}{5} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$14 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Этап 5.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$14 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Этап 5.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$14 (\frac{0}{1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Этап 5.2.2.1.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$14 (0 - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Этап 5.2.2.2

Перепишем $\frac{- \frac{π}{6}}{5}$ в виде произведения.

$14 (0 - (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}))$

Этап 5.2.2.3

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{π}{6}$ .

$14 (0 - - \frac{π}{5 \cdot 6})$

Этап 5.2.2.4

Умножим $5$ на $6$ .

$14 (0 - - \frac{π}{30})$

Этап 5.2.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$14 (0 + 1 \frac{π}{30})$

Этап 5.2.2.6

Умножим $\frac{π}{30}$ на $1$ .

$14 (0 + \frac{π}{30})$

Этап 5.2.2.7

Добавим $0$ и $\frac{π}{30}$ .

$14 \frac{π}{30}$

Этап 5.2.2.8

Объединим $14$ и $\frac{π}{30}$ .

$\frac{14 π}{30}$

Этап 5.2.2.9

Сократим общий множитель $14$ и $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $14 π$ .

$\frac{2 (7 π)}{30}$

Этап 5.2.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$\frac{2 (7 π)}{2 (15)}$

Этап 5.2.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (7 π)}{2 \cdot 15}$

Этап 5.2.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 π}{15}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7 π}{15}$

Десятичная форма:

$1.46607657 \dots$

Этап 7