Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{12}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Этап 1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 9}} d x$

Этап 2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)$ .

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Этап 4.1.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| x |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Этап 4.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $arcsec (| x |)$ .

$12 (\frac{arcsec (| x |)}{3}]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{arcsec (| x |)}{3}$ в $2$ и в $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$12 (\frac{arcsec (| 2 |)}{3} - \frac{arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$12 \frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$12 \frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Этап 5.2.2

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Этап 5.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ приблизительно равно $1.15470053$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})}{3}$

Этап 5.2.4

Точное значение $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{6}}{3}$

Этап 5.3

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}}{3}$

Этап 5.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}}{3}$

Этап 5.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}}{3}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$12 \frac{\frac{π \cdot 2 - π}{6}}{3}$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$12 \frac{\frac{2 \cdot π - π}{6}}{3}$

Этап 5.6.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$12 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 5.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$3 (4) \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 4 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 5.7.3

Перепишем это выражение.

$4 \frac{π}{6}$

Этап 5.8

Объединим $4$ и $\frac{π}{6}$ .

$\frac{4 π}{6}$

Этап 5.9

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$\frac{2 (2 π)}{6}$

Этап 5.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Этап 5.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Этап 5.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 π}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 π}{3}$

Десятичная форма:

$2.09439510 \dots$

Этап 7