Математический анализ Примеры

$302.2 (\frac{103^{x}}{100^{x}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $302.2$ и $\frac{103^{x}}{100^{x}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{302.2 \cdot 103^{x}}{100^{x}}]$

Этап 1.2

Поскольку $302.2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{302.2 \cdot 103^{x}}{100^{x}}$ по $x$ равна $302.2 \frac{d}{d x} [\frac{103^{x}}{100^{x}}]$ .

$302.2 \frac{d}{d x} [\frac{103^{x}}{100^{x}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 103^{x}$ и $g (x) = 100^{x}$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{{(100^{x})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(100^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{x \cdot 2}}$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$302.2 \frac{100^{x} \frac{d}{d x} [103^{x}] - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $103$ .

$302.2 \frac{100^{x} (103^{x} \ln (103)) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $103^{x} \cdot 100^{x}$ в виде ${(103 \cdot 100)}^{x}$ .

$302.2 \frac{{(103 \cdot 100)}^{x} \ln (103) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Этап 5.2

Умножим $103$ на $100$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 103^{x} \frac{d}{d x} [100^{x}]}{100^{2 x}}$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $100$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 103^{x} (100^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $100^{x} \cdot 103^{x}$ в виде ${(100 \cdot 103)}^{x}$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - {(100 \cdot 103)}^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$

Этап 7.2

Умножим $100$ на $103$ .

$302.2 \frac{10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$

Этап 7.3

Объединим $302.2$ и $\frac{10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100)}{100^{2 x}}$ .

$\frac{302.2 (10300^{x} \ln (103) - 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{302.2 (10300^{x} \ln (103)) + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $302.2 (10300^{x} \ln (103))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Изменим порядок $\ln (103)$ и $302.2$ .

$\frac{302.2 \cdot \ln (103) \cdot 10300^{x} + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Этап 8.2.1.1.2

Упростим $302.2 \cdot \ln (103)$ путем переноса $302.2$ под логарифм.

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} + 302.2 (- 10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $302.2 (- 10300^{x} \ln (100))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $302.2$ .

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - 302.2 (10300^{x} \ln (100))}{100^{2 x}}$

Этап 8.2.1.2.2

Изменим порядок $\ln (100)$ и $- 302.2$ .

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - 302.2 \cdot \ln (100) \cdot 10300^{x}}{100^{2 x}}$

Этап 8.2.1.2.3

Упростим $- 302.2 \cdot \ln (100)$ путем переноса $302.2$ под логарифм.

$\frac{\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - \ln (100^{302.2}) \cdot 10300^{x}}{100^{2 x}}$

Этап 8.2.2

Изменим порядок множителей в $\ln (103^{302.2}) \cdot 10300^{x} - \ln (100^{302.2}) \cdot 10300^{x}$ .

$\frac{10300^{x} \ln (103^{302.2}) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})}{100^{2 x}}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $10300^{x}$ из $10300^{x} \ln (103^{302.2}) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $10300^{x}$ из $10300^{x} \ln (103^{302.2})$ .

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2})) - 10300^{x} \ln (100^{302.2})}{100^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2

Вынесем множитель $10300^{x}$ из $- 10300^{x} \ln (100^{302.2})$ .

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2})) + 10300^{x} (- \ln (100^{302.2}))}{100^{2 x}}$

Этап 8.3.1.3

Вынесем множитель $10300^{x}$ из $10300^{x} (\ln (103^{302.2})) + 10300^{x} (- \ln (100^{302.2}))$ .

$\frac{10300^{x} (\ln (103^{302.2}) - \ln (100^{302.2}))}{100^{2 x}}$

Этап 8.3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{10300^{x} \ln (\frac{103^{302.2}}{100^{302.2}})}{100^{2 x}}$