Математический анализ Примеры

$\int 5 {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Тогда $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 - \cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $3 - \cos^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x)$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.1.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Этап 2.1.3.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$0 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Добавим $0$ и $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Этап 2.1.4.3

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Этап 2.1.4.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$5 \int {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

Этап 3

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 6}$ по $u_{2}$ имеет вид $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ .

$5 (- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5} + C)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим ${u_{2}}^{- 5}$ и $\frac{1}{5}$ .

$5 (- \frac{{u_{2}}^{- 5}}{5} + C)$

Этап 4.1.2

Перенесем ${u_{2}}^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C)$

Этап 4.2

Упростим.

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}) + C$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Этап 4.3.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}$ .

$\frac{- 5}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Этап 4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 ({u_{2}}^{5})} + C$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Этап 4.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 - \cos^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{{(3 - \cos^{2} (x))}^{5}} + C$