Математический анализ Примеры

$y^{x y}$

Этап 1

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = y$ и $g = x y$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y \cdot y^{x y - 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Этап 2

Умножим $y$ на $y^{x y - 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $y^{x y - 1}$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y)) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Этап 2.2

Умножим $y^{x y - 1}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x (y^{x y - 1} y^{1})) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Этап 2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y - 1 + 1}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Этап 2.3

Объединим противоположные члены в $x y - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y + 0}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Этап 2.3.2

Добавим $x y$ и $0$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Этап 3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 (x y^{x y}) + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $0$ .

$0 y^{x y} + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Этап 4.2

Умножим $0$ на $y^{x y}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$ .

$\frac{d}{d x} [x y] (y^{x y} \ln (y))$

Этап 5

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] (y^{x y} \ln (y))$

Этап 6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{x y} y^{1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{x y + 1} \frac{d}{d x} [x] \ln (y)$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y^{x y + 1} \cdot 1 \ln (y)$

Этап 9

Умножим $y^{x y + 1}$ на $1$ .

$y^{x y + 1} \ln (y)$