Математический анализ Примеры

$\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{5 - 2 x} d x + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 6

Пусть $u = 5 - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 5 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $5 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x]$

Этап 6.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

По правилу суммы производная $5 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 6.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 6.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 6.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 7.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 7.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 11.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 11.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 11.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 11.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C) + \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 13

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 14

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 15

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 16

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 16.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 16.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Этап 17

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- (\ln (| u |) + C) + 2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим.

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Этап 18.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Этап 18.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Этап 18.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \ln (| u |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Этап 19

Заменим все вхождения $u$ на $5 - 2 x$ .

$- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Этап 20

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2}{5 - 2 x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 5 - 2 x |) + 2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$