Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ и $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $12$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 20 x^{3} + 24 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 24 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ и $0$ .

$f' (x) = - 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$

Этап 5.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$- 5 u^{2} + 12 u - 2 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 5.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.4

Подставим значения $a = - 5$ , $b = 12$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $20$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.5.1.3

Вычтем $40$ из $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $104$ в виде $2^{2} \cdot 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Этап 5.5.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Этап 5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $20$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.6.1.3

Вычтем $40$ из $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $104$ в виде $2^{2} \cdot 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Этап 5.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}$

Этап 5.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 5 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 5 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 20 \cdot - 2}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.7.1.2.2

Умножим $20$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.7.1.3

Вычтем $40$ из $144$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.7.1.4

Перепишем $104$ в виде $2^{2} \cdot 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $104$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot - 5}$

Этап 5.7.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$u = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$

Этап 5.7.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{26}}{- 10}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{5}$

Этап 5.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

Этап 5.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{6 + \sqrt{26}}{5}, \frac{6 - \sqrt{26}}{5}$

Этап 5.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 2.2198039$

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

Этап 5.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 2.2198039$

Этап 5.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2.2198039}$

Этап 5.11.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2.2198039}$

Этап 5.11.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2.2198039}$

Этап 5.11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}$

Этап 5.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.18019609$

Этап 5.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 0.18019609$

Этап 5.13.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0.18019609}$

Этап 5.13.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{0.18019609}$

Этап 5.13.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{0.18019609}$

Этап 5.13.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Этап 5.14

Решением $- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 = 0$ является $x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$ .

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \sqrt{2.2198039}, - \sqrt{2.2198039}, \sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.18019609}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{2.2198039}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 20 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ в виде $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$- 20 \sqrt{{2.2198039}^{3}} + 24 (\sqrt{2.2198039})$

Этап 9.2

Возведем $2.2198039$ в степень $3$ .

$- 20 \sqrt{10.93814891} + 24 \sqrt{2.2198039}$

Этап 10

$x = \sqrt{2.2198039}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{2.2198039}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \sqrt{2.2198039}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{2.2198039}$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - {(\sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ в виде $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Этап 11.2.1.2

Возведем $2.2198039$ в степень $5$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 {(\sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Этап 11.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ в виде $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{{2.2198039}^{3}} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Этап 11.2.1.4

Возведем $2.2198039$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{2.2198039}) = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $- \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ .

$y = - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{2.2198039}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 20 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Этап 13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2.2198039}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Этап 13.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 20 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Этап 13.3

Перепишем ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ в виде $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$- 20 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Этап 13.4

Возведем $2.2198039$ в степень $3$ .

$- 20 (- \sqrt{10.93814891}) + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Этап 13.5

Умножим $- 1$ на $- 20$ .

$20 \sqrt{10.93814891} + 24 (- \sqrt{2.2198039})$

Этап 13.6

Умножим $- 1$ на $24$ .

$20 \sqrt{10.93814891} - 24 \sqrt{2.2198039}$

Этап 14

$x = - \sqrt{2.2198039}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{2.2198039}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{2.2198039}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{2.2198039}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - {(- \sqrt{2.2198039})}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2.2198039}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{5}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{2.2198039}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.2.3

Добавим $5$ и $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = 1 {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.4

Умножим ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = {\sqrt{2.2198039}}^{5} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{2.2198039}}^{5}$ в виде $\sqrt{{2.2198039}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{{2.2198039}^{5}} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.6

Возведем $2.2198039$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 {(- \sqrt{2.2198039})}^{3} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{2.2198039}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- {\sqrt{2.2198039}}^{3}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.9

Перепишем ${\sqrt{2.2198039}}^{3}$ в виде $\sqrt{{2.2198039}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{{2.2198039}^{3}}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.10

Возведем $2.2198039$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} + 4 (- \sqrt{10.93814891}) - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.11

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} - 2 (- \sqrt{2.2198039}) + 2$

Этап 15.2.1.12

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- \sqrt{2.2198039}) = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Этап 15.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$ .

$y = \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{0.18019609}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 20 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

Этап 17

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Перепишем ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$- 20 \sqrt{{0.18019609}^{3}} + 24 (\sqrt{0.18019609})$

Этап 17.2

Возведем $0.18019609$ в степень $3$ .

$- 20 \sqrt{0.00585108} + 24 \sqrt{0.18019609}$

Этап 18

$x = \sqrt{0.18019609}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{0.18019609}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \sqrt{0.18019609}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{0.18019609}$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - {(\sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ в виде $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Этап 19.2.1.2

Возведем $0.18019609$ в степень $5$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 {(\sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Этап 19.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{{0.18019609}^{3}} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Этап 19.2.1.4

Возведем $0.18019609$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{0.18019609}) = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Этап 19.2.2

Окончательный ответ: $- \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ .

$y = - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Этап 20

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{0.18019609}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 20 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Этап 21

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{0.18019609}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Этап 21.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 20 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Этап 21.3

Перепишем ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$- 20 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Этап 21.4

Возведем $0.18019609$ в степень $3$ .

$- 20 (- \sqrt{0.00585108}) + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Этап 21.5

Умножим $- 1$ на $- 20$ .

$20 \sqrt{0.00585108} + 24 (- \sqrt{0.18019609})$

Этап 21.6

Умножим $- 1$ на $24$ .

$20 \sqrt{0.00585108} - 24 \sqrt{0.18019609}$

Этап 22

$x = - \sqrt{0.18019609}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{0.18019609}$ — локальный максимум

Этап 23

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{0.18019609}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{0.18019609}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - {(- \sqrt{0.18019609})}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{0.18019609}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = - ({(- 1)}^{5} {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{5}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) {\sqrt{0.18019609}}^{5}) + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{5 + 1} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.2.3

Добавим $5$ и $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {(- 1)}^{6} {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = 1 {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.4

Умножим ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = {\sqrt{0.18019609}}^{5} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{0.18019609}}^{5}$ в виде $\sqrt{{0.18019609}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{{0.18019609}^{5}} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.6

Возведем $0.18019609$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 {(- \sqrt{0.18019609})}^{3} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{0.18019609}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- {\sqrt{0.18019609}}^{3}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.9

Перепишем ${\sqrt{0.18019609}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.18019609}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{{0.18019609}^{3}}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.10

Возведем $0.18019609$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} + 4 (- \sqrt{0.00585108}) - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.11

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} - 2 (- \sqrt{0.18019609}) + 2$

Этап 23.2.1.12

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- \sqrt{0.18019609}) = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Этап 23.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$ .

$y = \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2$

Этап 24

Это локальные экстремумы $f (x) = - x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 2$ .

$(\sqrt{2.2198039}, - \sqrt{53.89805001} + 4 \sqrt{10.93814891} - 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ — локальный максимум

$(- \sqrt{2.2198039}, \sqrt{53.89805001} - 4 \sqrt{10.93814891} + 2 \sqrt{2.2198039} + 2)$ — локальный минимум

$(\sqrt{0.18019609}, - \sqrt{0.00018998} + 4 \sqrt{0.00585108} - 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ — локальный минимум

$(- \sqrt{0.18019609}, \sqrt{0.00018998} - 4 \sqrt{0.00585108} + 2 \sqrt{0.18019609} + 2)$ — локальный максимум

Этап 25