Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (a x^{2} + b) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} a x^{2} + b d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} a x^{2} d x + \int_{0}^{1} b d x$

Этап 3

Поскольку $a$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $a$ из-под знака интеграла.

$a \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} b d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$a \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} b d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$a \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} b d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$a \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + b x]_{0}^{1}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$a ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + b x]_{0}^{1}$

Этап 7.1.2

Найдем значение $b x$ в $1$ и в $0$ .

$a (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + b \cdot 1 - b \cdot 0$

Этап 7.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$a (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + b \cdot 1 - b \cdot 0$

Этап 7.1.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$a (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + b \cdot 1 - b \cdot 0$

Этап 7.1.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$a (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + b \cdot 1 - b \cdot 0$

Этап 7.1.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$a (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + b \cdot 1 - b \cdot 0$

Этап 7.1.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$a (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + b \cdot 1 - b \cdot 0$

Этап 7.1.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$a (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + b \cdot 1 - b \cdot 0$

Этап 7.1.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$a (\frac{1}{3} - 0) + b \cdot 1 - b \cdot 0$

Этап 7.1.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$a (\frac{1}{3} + 0) + b \cdot 1 - b \cdot 0$

Этап 7.1.3.5

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$a \frac{1}{3} + b \cdot 1 - b \cdot 0$

Этап 7.1.3.6

Объединим $a$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{a}{3} + b \cdot 1 - b \cdot 0$

Этап 7.1.3.7

Умножим $b$ на $1$ .

$\frac{a}{3} + b - b \cdot 0$

Этап 7.1.3.8

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{a}{3} + b + 0 b$

Этап 7.1.3.9

Умножим $0$ на $b$ .

$\frac{a}{3} + b + 0$

Этап 7.1.3.10

Добавим $b$ и $0$ .

$\frac{a}{3} + b$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} a + b$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $a$ .

$\frac{a}{3} + b$

Этап 9