Математический анализ Примеры

$e^{\frac{- x}{2}}$

Этап 1

Запишем $e^{\frac{- x}{2}}$ в виде функции.

$f (x) = e^{\frac{- x}{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{\frac{- x}{2}} d x$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int e^{- \frac{x}{2}} d x$

Этап 5

Пусть $u = - \frac{x}{2}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{2} d x$ , следовательно $- 2 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - \frac{x}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Этап 5.1.2

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\int - e^{u} \cdot 2 d u$

Этап 6.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Этап 9

Упростим.

$- 2 e^{u} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 e^{- \frac{x}{2}} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{\frac{- x}{2}}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$