Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + 2$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Этап 1.1.4.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 2 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ умножим на $3 x^{\frac{1}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ на $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.4.2.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2 = - 2 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$2 = - 6 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- 6 x^{\frac{1}{3}} = 2$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{- 6} = \frac{2}{- 6}$

Этап 2.5.2.2.2

Разделим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 6}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 (1)}{- 6}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 3}$

Этап 2.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{- 3}$

Этап 2.5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}$

Этап 2.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Этап 2.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Этап 2.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Этап 2.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Этап 2.5.4.1.1.2

Упростим.

$x = {(- \frac{1}{3})}^{3}$

Этап 2.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Упростим ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$

Этап 2.5.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Этап 2.5.4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Этап 2.5.4.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = - \frac{1}{3^{3}}$

Этап 2.5.4.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x = - \frac{1}{27}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} + 2$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} + 2$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 x = 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x = 0$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $\sqrt[3]{x^{2}} + 2 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{1}{27}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{1}{27}$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt[3]{1 {(\frac{1}{27})}^{2}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Этап 4.1.2.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{27}$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{1^{2}}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Этап 4.1.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt[3]{1 \frac{1}{27^{2}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $27$ в степень $2$ .

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{729})} + 2 (- \frac{1}{27})$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $\frac{1}{729}$ на $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{1}{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Этап 4.1.2.1.7

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{729}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Этап 4.1.2.1.8

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{729}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Этап 4.1.2.1.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.9.1

Перепишем $729$ в виде $9^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{9^{3}}} + 2 (- \frac{1}{27})$

Этап 4.1.2.1.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{1}{9} + 2 (- \frac{1}{27})$

Этап 4.1.2.1.10

Умножим $2 (- \frac{1}{27})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{27})$

Этап 4.1.2.1.10.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 2}{27}$

Этап 4.1.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{9} - \frac{2}{27}$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{27}$

Этап 4.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $27$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{3}{27} - \frac{2}{27}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 2}{27}$

Этап 4.1.2.5

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{27}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2}} + 2 (0)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt[3]{0} + 2 (0)$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}} + 2 (0)$

Этап 4.2.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$0 + 2 (0)$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- \frac{1}{27}, \frac{1}{27}), (0, 0)$

Этап 5