Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{3}} - 5 \tan (2 x) + \cos (x)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{3}$ .

$- lim_{x \to \frac{π}{3}} 5 \tan (2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Этап 2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 5 lim_{x \to \frac{π}{3}} \tan (2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$- 5 \tan (lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 5 \tan (2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x)$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- 5 \tan (2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{3}$ для $x$ .

$- 5 \tan (2 \frac{π}{3}) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{3}$ для $x$ .

$- 5 \tan (2 \frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$- 5 \tan (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 7.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$- 5 (- \tan (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 7.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$- 5 (- \sqrt{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$5 \sqrt{3} + \cos (\frac{π}{3})$

Этап 7.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$5 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$5 \sqrt{3} + \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$9.16025403 \dots$