Математический анализ Примеры

$x^{2} - 2 y^{3} + 4 y = 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 2 y^{3} + 4 y) = \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 y^{3} + 4 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x - 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x - 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x - 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - 2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$2 x - 6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x - 6 y^{2} y' + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - 6 y^{2} y' + 4 y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- 6 y^{2} y' + 2 x + 4 y'$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 6 y^{2} y' + 2 x + 4 y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- 6 y^{2} y' + 4 y' = - 2 x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 6 y^{2} y' + 4 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 6 y^{2} y'$ .

$2 y' (- 3 y^{2}) + 4 y' = - 2 x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $4 y'$ .

$2 y' (- 3 y^{2}) + 2 y' \cdot 2 = - 2 x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (- 3 y^{2}) + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (- 3 y^{2} + 2) = - 2 x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 y' (- 3 y^{2} + 2) = - 2 x$ на $2 (- 3 y^{2} + 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 y' (- 3 y^{2} + 2) = - 2 x$ на $2 (- 3 y^{2} + 2)$ .

$\frac{2 y' (- 3 y^{2} + 2)}{2 (- 3 y^{2} + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (- 3 y^{2} + 2)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (- 3 y^{2} + 2)}{2 (- 3 y^{2} + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (- 3 y^{2} + 2)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 2)}{- 3 y^{2} + 2} = \frac{- 2 x}{2 (- 3 y^{2} + 2)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 3 y^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 3 y^{2} + 2)}{- 3 y^{2} + 2} = \frac{- 2 x}{2 (- 3 y^{2} + 2)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (- 3 y^{2} + 2)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 3 y^{2} + 2)}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 3 y^{2} + 2)}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x}{- 3 y^{2} + 2}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{- 3 y^{2} + 2}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{x}{- (3 y^{2}) + 2}$

Этап 5.3.3.4

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$y' = - \frac{x}{- (3 y^{2}) - 1 (- 2)}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2}) - 1 (- 2)$ .

$y' = - \frac{x}{- (3 y^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Перепишем $- (3 y^{2} - 2)$ в виде $- 1 (3 y^{2} - 2)$ .

$y' = - \frac{x}{- 1 (3 y^{2} - 2)}$

Этап 5.3.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - - \frac{x}{3 y^{2} - 2}$

Этап 5.3.3.6.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = 1 \frac{x}{3 y^{2} - 2}$

Этап 5.3.3.6.4

Умножим $\frac{x}{3 y^{2} - 2}$ на $1$ .

$y' = \frac{x}{3 y^{2} - 2}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{3 y^{2} - 2}$