Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4}{x^{5}} - 3$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{5}} - 3 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{4}{x^{5}} d x + \int - 3 d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - 3 d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - 3 d x$

Этап 5.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$4 \int x^{- 5} d x + \int - 3 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - 3 d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - 3 d x$

Этап 7.2

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - 3 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 3 x + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{- 1}{x^{4}} - 3 x + C$

Этап 9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x^{4}} - 3 x + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{4}{x^{5}} - 3$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} - 3 x + C$