Математический анализ Примеры

$\int (4 + 2 x^{2} + 6 x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 4 + 2 x^{2} + 6 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 d x + \int 2 x^{2} d x + \int 6 x d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 x + C + \int 2 x^{2} d x + \int 6 x d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$4 x + C + 2 \int x^{2} d x + \int 6 x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 x + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 6 x d x$

Этап 6

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$4 x + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 \int x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 x + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$4 x + \frac{2 x^{3}}{3} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 x + \frac{2 x^{3}}{3} + 6 \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $6$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 x + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{6 x^{2}}{2} + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2}$ .

$4 x + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (3 x^{2})}{2} + C$

Этап 8.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 x + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 (1)} + C$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$4 x + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 8.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$4 x + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{1} + C$

Этап 8.2.3.2.4

Разделим $3 x^{2}$ на $1$ .

$4 x + \frac{2 x^{3}}{3} + 3 x^{2} + C$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$4 x + \frac{2}{3} x^{3} + 3 x^{2} + C$