Математический анализ Примеры

$\int 4 (\tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)) d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\int \tan^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 (\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int \tan^{4} (x) d x)$

Этап 6

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int \tan^{4} (x) d x)$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {\tan (x)}^{2 (2)} d x)$

Этап 7.2

Перепишем ${\tan (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x)$

Этап 8

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x)$

Этап 9

Упростим.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x)$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + \int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (- x + C + \tan (x) + C + x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$4 (C + \tan (x) + C + 0 + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Этап 12.2

Добавим $C + \tan (x) + C$ и $0$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Этап 13

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x)$

Этап 14

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x)$

Этап 15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x)$

Этап 15.2

Перепишем ${\sec (x)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x)$

Этап 16

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (x)$ в виде $1 + \tan^{2} (x)$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x)$

Этап 17

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 17.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 17.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u)$

Этап 18

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u)$

Этап 19

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u)$

Этап 20

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$4 (C + \tan (x) + C + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Этап 21.2

Упростим.

$4 (- \tan (x) + u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Этап 22

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$4 (- \tan (x) + \tan (x) + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Этап 23

Добавим $- \tan (x)$ и $\tan (x)$ .

$4 (0 + \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Этап 24

Изменим порядок членов.

$4 (0 + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$