Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{x^{2}}{\sqrt{12 - x^{2}}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\sqrt{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}{lim_{x \to \sqrt{3}} \sqrt{12 - x^{2}}}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{lim_{x \to \sqrt{3}} \sqrt{12 - x^{2}}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to \sqrt{3}} 12 - x^{2}}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\sqrt{3}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to \sqrt{3}} 12 - lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}}$

Этап 5

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\sqrt{3}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{12 - lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{12 - {(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $\sqrt{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\sqrt{3}$ для $x$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{12 - {(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\sqrt{3}$ для $x$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 8.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 8.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 8.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 8.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{1}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 8.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Этап 8.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 8.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{2}{2}}}}$

Этап 8.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{1}}}$

Этап 8.2.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 1 \cdot 3}}$

Этап 8.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3}}$

Этап 8.2.3

Вычтем $3$ из $12$ .

$\frac{3}{\sqrt{9}}$

Этап 8.2.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 8.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{3}$

Этап 8.3

Разделим $3$ на $3$ .

$1$