Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{- 3 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{- 3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (5 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.6.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.6.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.6.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (5 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (5 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x + \cos (5 x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.4

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Добавим $1 - 5 \sin (5 x)$ и $0$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x)}{1}$

Этап 2.4

Разделим $1 - 5 \sin (5 x)$ на $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} 1 - 5 \sin (5 x)$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 3} (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x))$

Этап 3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x))$

Этап 3.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Этап 3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x))$

Этап 3.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (5 \cdot 0))$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \sin (5 \cdot 0))$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $5$ на $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \sin (0))$

Этап 5.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \cdot 0)$

Этап 5.2.3

Умножим $- 5$ на $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 + 0)$

Этап 5.3

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{3}$